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DEUM

conjunto s m 1 Grupo o reunión de cosas o elementos que son de la misma clase o que tienen algo en común: conjunto de casas, conjunto de niños, conjunto de letras, conjunto vacío, conjunto cero 2 Grupo de músicos que tocan juntos: un conjunto de baile, un conjunto tropical 3 En conjunto Como un todo, sin particularizar, sin detenerse en los detalles: «Su trabajo, en conjunto, me parece bueno» 4 adj Que se hace entre varios, que es simultáneo y coordinado: una acción conjunta, esfuerzos conjuntos, un comunicado conjunto.

definición - conjunto

definición de conjunto (Wikipedia)

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sinónimos - conjunto

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ver también - conjunto

conjunto (adj.)

colectivamente diferente, distinto

frases

-Alfabeto fonetico conjunto Ejercito Armada • Alfabeto fonético conjunto Ejército/Armada • Angel Viloria y su conjunto tipico cibaeño • Angel Viloria y su conjunto típico cibaeño • Análisis conjunto • Atlantica (Conjunto Musical) • Atlantica (conjunto musical) • Atlántica (Conjunto Musical) • Atlántica (conjunto musical) • Castillo y conjunto monumental de Játiva • Centro Conjunto de Advertencia de Tifones • Centro conjunto de advertencia de tifones • Comando Conjunto de las Fuerzas Armadas del Perú • Complemento de un conjunto • Computadora con Conjunto de Instrucciones Reducidas • Conjunto (informática) • Conjunto (programación) • Conjunto 9 • Conjunto Arqueologico Romano • Conjunto Arqueologico formado por los yacimientos de La Espina del Gallego Cilda el Canton y Campo de Las Cercas • Conjunto Arqueológico Romano • Conjunto Comandante Luis Piedrabuena • Conjunto Comandante Piedrabuena • Conjunto Habitacional Nicolas Avellaneda • Conjunto Habitacional Nicolás Avellaneda • Conjunto Habitacional Rioja • Conjunto Habitacional Soldati • Conjunto Habitacional Unidad Independencia • Conjunto Habitacional Villa Tranquila • Conjunto Historico Artistico • Conjunto Historico-Artistico • Conjunto Histórico Artístico • Conjunto Histórico Artístico El Camino de Santiago • Conjunto Histórico Artístico de Lastres • Conjunto Histórico Artístico de Tazones • Conjunto Histórico Cangas del Narcea • Conjunto Histórico de Olloniego • Conjunto Histórico de Ribadesella • Conjunto Histórico de la Villa de Castropol • Conjunto Histórico de la Villa de Llanes • Conjunto Histórico de la Villa de Pravia • Conjunto Histórico de la Villa de Salas • Conjunto Histórico de la Villa de Tineo • Conjunto Histórico núcleo rural de Argul • Conjunto Histórico-Artístico • Conjunto Lacustre de Somiedo • Conjunto Mariano Castex • Conjunto Monumental Santo Domingo • Conjunto Pampa • Conjunto Piedrabuena • Conjunto Rioja • Conjunto Rumbavana • Conjunto Samore • Conjunto Samoré • Conjunto San Pedrito • 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Conjunto de fortalezas costeras del monte serantes • Conjunto de huellas • Conjunto de información • Conjunto de instrucciones • Conjunto de instrucciones complejas de computación • Conjunto de julia • Conjunto de nikodym • Conjunto de nivel • Conjunto de numeros naturales • Conjunto de prambanan • Conjunto de soluciones • Conjunto de templos de Mahabodhi • Conjunto de templos de mahabodhi • Conjunto de tumbas de Koguryo • Conjunto de tumbas de koguryo • Conjunto de vitali • Conjunto denso • Conjunto dominante • Conjunto etnográfico de Teixois • Conjunto finito • Conjunto folclórico Cuncumén • Conjunto generador de un grupo • Conjunto historico-artistico • Conjunto histórico artístico de Avilés • Conjunto histórico artístico de Cimadevilla • Conjunto histórico de Cangas del Narcea • Conjunto histórico de Fierros • Conjunto histórico de Grado • Conjunto histórico de Villaviciosa • Conjunto histórico y cultural de las Islas Solovetsky • Conjunto histórico-artístico • Conjunto 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Mayor Conjunto • Estado Mayor Conjunto de la Defensa • Estado Mayor Conjunto de los Estados Unidos • Estado mayor conjunto de la defensa • Estado mayor conjunto de los estados unidos • Jefe del Comando Conjunto de las Fuerzas Armadas del Perú • Operativo Conjunto Baja California • Operativo Conjunto Michoacán • Potencia de un conjunto • Presidente del Estado Mayor Conjunto de los Estados Unidos • Programa Conjunto de las Naciones Unidas sobre el VIH/SIDA • Programa nuclear conjunto de Brasil y Argentina • Sexteto (conjunto) • Ángel Viloria y su conjunto típico cibaeño

diccionario analógico


conjunto (adj.)












 

organización[Hyper.]

conjunto (s.)




Wikipedia

Conjunto

                   
  Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.[1] Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Contenido

  Historia

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.[2] Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.

La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.

  Definición

Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición de conjunto:[3]

[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.

Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.


Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.

A y B tienen los mismos elementos si cada elemento de A es elemento de B y cada elemento de B pertenece a A.

  Descripción de un conjunto

  Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.

Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:

Una de ellas es mediante una definición intensiva o por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos :

A es el conjunto cuyos miembros son los números enteros positivos menores que 5.
B es el conjunto de colores de la bandera de México.

La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjuntos entre llaves:

C = {4, 2, 3, 1}
D = {blanco, rojo, verde}

Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo:

«El conjunto de las vocales en español» = {e, u, a, i, o}
En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D

Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión). Por ejemplo:

C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}
D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}

Esto es así debido a que lo único que define un conjunto son sus elementos. Por ejemplo, cada elemento de D es un elemento de D′ y viceversa, luego ambos son necesariamente el mismo conjunto. Del mismo modo, y a diferencia de un multiconjunto, cada elemento de un conjunto es único: no puede repetirse o pertenecer «más de una vez». Esto significa que, por ejemplo:

{4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,

ya que los elementos de ambos conjuntos son los mismos: el 4, el 3 y el 2. No sería el caso si los números que consideramos tuvieran alguna otra propiedad que los diferenciase:

{4, 3, 2, 4} es distinto de {4, 2, 3} y de {4, 2, 3}

Es habitual utilizar las llaves también en las definiciones intensivas, especificando la propiedad que define al conjunto:

{Vocales del español} = {o, u, i, e, a}
{Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

A = {m : m es un entero, y 1 ≤ m ≤ 5}
B = {c : c es un color de la bandera de México}
F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,

donde en esta expresión los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F anterior es el conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .

  Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

  Pertenencia

La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por aB,[4] y si no lo es, se denota por aB. Por ejemplo, respecto a los conjuntos A, B y F de la sección anterior, podemos decir:

4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero
7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B

Y se dice entonces que 4 pertenece al conjunto A, 4 es un miembro de A, 4 está en A o A contiene 4.

  Subconjuntos

  Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio).

Un conjunto B es una parte o un subconjunto del conjunto A, si todo elemento de B es de A. [5] [6] [7]

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A.


   B \subset A
   \quad \longrightarrow \quad
   \forall a \in B : x \in A

Esta definición es equivalente a: «si todo elemento de un conjunto B pertenece también a otro conjunto A se dice que B esta contenido en A, o bien que B esta incluido en A. Esta idea se indica con el signo y se lee 'esta contenido en'».[8]


Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si: la intersección entre A y B es el conjunto B.


   B \subset A
   \quad \longrightarrow \quad
   A \cap B = B

Si B es un subconjunto de A, se escribe como BA y se dice que «B está contenido en A». También puede escribirse AB, y decirse que A es un superconjunto de B y también «A contiene a B» o «A incluye a B».

  Subconjunto propio e impropios

En algunos textos de redacción antigua diferencian entre los subconjuntos: los subconjuntos, los subconjuntos propios y los impropios, esta notación no es aconsejable al ser obsoleta, dado que las estructuras algebraicas de orden y en álgebra de conjuntos, parten de la propiedad reflexiva, por eso un conjunto cualesquiera se considera un subconjunto de si mismo en todos los casos,[9] y por ello se define:

Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto de A, si todo elemento de B pertenece a A, según la siguiente notación:


   B \subseteq A
   \quad \longrightarrow \quad
   \forall x \in B : x \in A


Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto propio de A, si todo elemento de B pertenece a A, siendo A y B conjuntos distintos.


   B \varsubsetneq A
   \quad \longrightarrow \quad
   \forall x \in B : x \in A
   \quad \and \quad
   \exists y \in A : y \notin B


Dados dos conjuntos A y B, si A = B, se dice también que A es un subconjunto impropio de B, y también que B es un subconjunto impropio de A.


   A = B
   \quad \longleftrightarrow \quad
   A \subseteq B
   \quad \and \quad
   B \subseteq A

Si B no sólo contiene algunos sino todos los elementos A, B no sólo es un subconjunto de A, sino que ambos conjuntos son iguales, A = B. El otro caso posible es que B contenga algunos pero no todos los elementos de A: B es un subconjunto de A pero no son iguales. Se dice entonces que B es un subconjunto propio de A y se denota BA, es decir: BA pero BA (y equivalentemente, para un superconjunto propio, AB).

También se utiliza la notación BA y AB, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, BA y AB; o subconjunto propio, BA y AB.[10]

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

  Conjuntos disjuntos

  A y B son conjuntos disjuntos.

Un conjunto A es disjunto a otro B si los elementos de A no pertenecen a B:


   \forall x \in A : x \notin B

la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es disjunto de B, B es disjunto de A:


   \forall x \in A : x \notin B
   \quad \longleftrightarrow  \quad
   \forall x \in B : x \notin A

Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, que también puede decirse:

Los conjuntos A y B sin disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.


   A\ {\rm y} \ B\ {\rm disjuntos}
   \quad \longrightarrow \quad
   A \cap B = \varnothing

  Cardinalidad

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito podemos contar los elementos del conjunto:

El número de elementos de un conjunto es su cardinal, si el conjunto es finito el cardinal será un número entero

El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B| = 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.

En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, los conjuntos infinitos pueden compararse, y resulta que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.

  Operaciones con conjuntos

Operaciones con conjuntos
Unión
Unión
Intersección
Intersección
Diferencia
Diferencia
Complemento
Complemento
Diferencia simétrica
Diferencia simétrica

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

  • Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos(A y B), que se representa como AB), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
  • Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto AB de los elementos comunes a A y B.
  • Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
  • Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
  • Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
  • Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
Ejemplos
  • {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
  • {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
  • {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
  • {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
  • {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

  Véase también

  Referencias

  1. Para esta introducción, véase Weisstein, y Courant, Robbins y Stewart, 1996, p. 108.
  2. Esta sección está basada en Ferreirós, J.. Edward N. Zalta (ed.): «The early development of set theory» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Consultado el 15-12-2011.
  3. Véase Cantor, Georg (2006) [1872-1899]. Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta.. Edición de José Ferreirós. Crítica. p. 137. ISBN 84-8432-695-0. 
  4. Este símbolo lo introdujo Peano. Vid Matemática Moderna de André Warusfel sobre epsilon y Nachbin en su Álgebra Elemental (pág.1 y pág.2) habla de: "La notación de Peano x ∈ X".
  5. Andrés Gutiérrez Gómez; Fernando García Castro (1981) (en español). Álgebra lineal. 1 (1 edición). Ediciones Pirámide, S.A.. p. 18. ISBN 84-368-0174-1. 
  6. Lipschutz, Seymour; Castaño, Jesús María: tr. (1992) (en español). Teoría de conjuntos y temas afines (1 edición). McGraw-Hill. p. 3. ISBN 978-84-7615-928-6. 
  7. Lipschutz, Seymour; Gonzalo Prada: tr. (1974) (en español). Matematicas finitas (1 edición). McGraw-Hill. p. 36. ISBN 0-07-091630-6. 
  8. Thomas Ara, Luis (1974) (en español). Álgebra lineal. 1 (1 edición). AUTOR-EDITOR 15. p. 16. ISBN 978-84-400-7995-4. 
  9. Lipschutz, Seymour; Castaño, Jesús María: tr. (1992) (en español). Teoría de conjuntos y temas afines (1 edición). McGraw-Hill. p. 3. ISBN 978-84-7615-928-6. 
  10. Lipschutz,, p. 3

  Bibliografía

  • Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.

  Enlaces externos

   
               

 

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